Aufgabe:
Berechnen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktion und vereinfachen Sie sie soweit wie möglich:
$$f(x)=x^3\cdot e^{6x}$$
Antwortmöglichkeiten:
a) $f'(x)=3x^2\cdot e^{6x}$
b) $f'(x)=18x^3\cdot e^{5x}$
c) $f'(x)=3x^2\cdot e^{6x}\cdot (1+2x)$
d) $f'(x)=3x^2\cdot e^{5x}\cdot (e^x+2x^2)$
Hinweise zur Aufgabe:
Verwenden Sie die folgenden Ableitungsregeln:
Gegeben seien zwei differenzierbare Funktionen $u(x)$ und $v(x)$ sowie eine Konstante $c\in\mathbb{R}$. Dann gilt:
- Potenzregel: $(x^c)’=c\cdot x^{c-1}$
- Faktorregel: $(c\cdot u(x))’=c\cdot u'(x)$
- Produktregel: $(u(x)\cdot v(x))’=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$
- Kettenregel: $(u(x)\circ v(x))’=u'(v(x))\cdot v'(x)$
- Exponentialregel: $(e^x)’=e^x$
Lösung: c)
Ausführliche Lösung:
(Schritt 1) $f'(x)=\overbrace{3x^2\cdot e^{6x}+x^3\cdot\underbrace{e^{6x}\cdot6}_{\text{Kettenregel}}}^{\text{Produktregel}}$
(Schritt 2) $=3x^2\cdot e^{6x}+3x^2\cdot e^{6x}\cdot2x$
(Schritt 3) $=3x^2\cdot e^{6x}\cdot(1+2x)$
Hinweise zur Lösung:
Schritt 1:
Aufgrund dessen, dass $f(x)$ ein Produkt zweier Funktionen jeweils in Abhängigkeit von $x$ ist, ist die Produktregel heranzuziehen. Für die Ableitungen dieser beiden Funktionen ($x^3$ und $e^{6x}$ ) sind zudem die Potenz- und die Ketten- sowie die Faktorregel zu verwenden. Über die Potenzregel ergibt sich die Ableitung von $x^3$ zu $3x^2$. Bei der Exponentialfunktion $e^{6x}$ handelt es sich um eine verkettete Funktion bestehend aus der äußeren Funktion $u(x)=e^{x}$ und der inneren Funktion $v(x)=6x$. Über die Kettenregel folgt für die äußere Ableitung $e^{6x}$, während sich die innere Ableitung gemäß Faktorregel (und Potenzregel) zu 6 ergibt.
Schritt 2:
Hier werden die Summanden so umgeschrieben, dass der gemeinsame Faktor beider Summanden ($3x^2\cdot e^{6x}$) sichtbar wird.
Schritt 3:
Der gemeinsame Faktor wird ausgeklammert. Damit ist die Ableitung soweit wie möglich vereinfacht.
