Super, ihr habt den Hinweis zur Öffnung des Ausgangs gefunden:



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Dies ist der Hinweis damit ihr das Lösungswort-Anagram, also die drei Blöcke, übersetzen und korrekt anordnen könnt! Googelt einfach den folgenden Begriff: "l337 sp34k", um zu verstehen was die  Textzeichen bedeuten. Wenn ihr die Blöcke aus den drei Kompetenz-Checks richtig angeordnet habt, habt ihr das Lösungswort für den Ausgang aus dem Escape-Room! Ihr braucht das Lösungswort nicht zu übersetzen sondern sollte es in der l337sp34k Variante eingeben.

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Ute Lübke

Ableitungen

Aufgabe: 

Berechnen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktion und vereinfachen Sie sie soweit wie möglich:

$$f(x)=x^3\cdot e^{6x}$$

Antwortmöglichkeiten:

a) $f'(x)=3x^2\cdot e^{6x}$
b) $f'(x)=18x^3\cdot e^{5x}$
c) $f'(x)=3x^2\cdot e^{6x}\cdot (1+2x)$
d) $f'(x)=3x^2\cdot e^{5x}\cdot (e^x+2x^2)$

Hinweise zur Aufgabe:

Verwenden Sie die folgenden Ableitungsregeln:

Gegeben seien zwei differenzierbare Funktionen $u(x)$ und $v(x)$ sowie eine Konstante $c\in\mathbb{R}$. Dann gilt:

  • Potenzregel:          $(x^c)’=c\cdot x^{c-1}$
  • Faktorregel:           $(c\cdot u(x))’=c\cdot u'(x)$
  • Produktregel:        $(u(x)\cdot v(x))’=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$
  • Kettenregel:           $(u(x)\circ v(x))’=u'(v(x))\cdot v'(x)$
  • Exponentialregel: $(e^x)’=e^x$

Lösung: c)

Ausführliche Lösung:

(Schritt 1)   $f'(x)=\overbrace{3x^2\cdot e^{6x}+x^3\cdot\underbrace{e^{6x}\cdot6}_{\text{Kettenregel}}}^{\text{Produktregel}}$

(Schritt 2)   $=3x^2\cdot e^{6x}+3x^2\cdot e^{6x}\cdot2x$

(Schritt 3)   $=3x^2\cdot e^{6x}\cdot(1+2x)$

Hinweise zur Lösung:

Schritt 1:
Aufgrund dessen, dass $f(x)$ ein Produkt zweier Funktionen jeweils in Abhängigkeit von $x$ ist, ist die Produktregel heranzuziehen. Für die Ableitungen dieser beiden Funktionen ($x^3$ und $e^{6x}$ ) sind zudem die Potenz- und die Ketten- sowie die Faktorregel zu verwenden. Über die Potenzregel ergibt sich die Ableitung von $x^3$ zu $3x^2$. Bei der Exponentialfunktion $e^{6x}$ handelt es sich um eine verkettete Funktion bestehend aus der äußeren Funktion $u(x)=e^{x}$ und der inneren Funktion $v(x)=6x$. Über die Kettenregel folgt für die äußere Ableitung $e^{6x}$, während sich die innere Ableitung gemäß Faktorregel (und Potenzregel) zu 6 ergibt.

Schritt 2:
Hier werden die Summanden so umgeschrieben, dass der gemeinsame Faktor beider Summanden ($3x^2\cdot e^{6x}$) sichtbar wird.

Schritt 3:
Der gemeinsame Faktor wird ausgeklammert. Damit ist die Ableitung soweit wie möglich vereinfacht.