Aufgabe:
Vereinfachen Sie den folgenden Term so weit wie möglich:
$\frac{y^2+1-2y}{y-1}+\frac{y^2-1}{y+1}-2(y+1)\qquad\big(y\in\mathbb{R}\backslash\{\pm1\}\big)$
Antwortmöglichkeiten:
a) $y^2+1$
b) $-4$
c) $0$
d) $y-1$
Hinweise zur Aufgabe:
Nutzen Sie zur Vereinfachung die binomischen Formeln:
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \quad$ (1. binomische Formel)
$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \quad$ (2. binomische Formel)
$(a+b)(a-b) = a^2-b^2 \quad\,\,$ (3. binomische Formel)
Lösung: b)
Ausführliche Lösung:
Empfohlener Rechenweg (unter Verwendung der binomischen Formeln):
$\frac{y^2+1-2y}{y-1}+\frac{y^2-1}{y+1}-2(y+1)=\frac{(y-1)^2}{y-1}+\frac{(y+1)(y-1)}{y+1}-2y-2$
$=y-1+y-1-2y-2=-4$
Alternativer Rechenweg (ohne Verwendung der binomischen Formeln):
$\,\frac{y^2+1-2y}{y-1}+\frac{y^2-1}{y+1}-2(y+1)$
$=\,\frac{(y^2+1-2y)(y+1)}{(y-1)(y+1)}+\frac{(y^2-1)(y-1)}{(y+1)(y-1)}-\frac{2(y+1)(y+1)(y-1)}{(y+1)(y-1)}$
$=\,\frac{y^3+y^2+y+1-2y^2-2y}{y^2-1}+\frac{y^3-y^2-y+1}{y^2-1}-\frac{2(y^2+2y+1)(y-1)}{y^2-1}$
$=\,\frac{y^3+y^2+y+1-2y^2-2y+y^3-y^2-y+1-(2y^3-2y^2+4y^2-4y+2y-2)}{y^2-1}$
$=\,\frac{2y^3-2y^2-2y+2-2y^3-2y^2+2y+2}{y^2-1}$
$=\,\frac{-4y^2+4}{y^2-1}=\frac{-4(y^2-1)}{y^2-1}=-4$
Hinweise zur Lösung:
Empfohlener Rechenweg (unter Verwendung der binomischen Formeln):
Im Zähler des ersten Bruches kann die 2. binomische Formel und im Zähler des zweiten Bruches kann die 3. binomische Formel angewendet werden. Danach kann direkt gekürzt werden, und es ergibt sich ein leicht weiter zu vereinfachender linearer Term.
Alternativer Rechenweg (ohne Verwendung der binomischen Formeln):
Im ersten Schritt sind alle Ausdrücke gleichnamig zu machen, d.h. auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Dies ist optimalerweise der kleinste gemeinsame Nenner, der sich hier zu ($y+1$)($y – 1$) ergibt, weshalb alle Ausdrücke entsprechend zu erweitern sind. In den darauf folgenden Schritten ist auszumultiplizieren und danach der Term so weit wie möglich zu vereinfachen.
