Aufgabe:
Berechnen Sie die Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:
(1) $6x+4y=32$
(2) $-4x+6y=-4$
Antwortmöglichkeiten:
a) $x=0$ und $y=0$
b) $x=2$ und $y=4$
c) $x=4$ und $y=2$
d) $x=3$ und $y=3$
Hinweise zur Aufgabe:
Lineare Gleichungssysteme (LGS) können über diverse Verfahren gelöst werden.
Einsetzungsverfahren: Eine der Gleichungen des LGS ist nach einer Variablen aufzulösen und der resultierende Ausdruck für diese Variable ist dann in die anderen Gleichungen einzusetzen.
Gleichsetzungsverfahren: Zwei Gleichungen des LGS sind so umzustellen, dass ihre jeweiligen rechten Seiten gleichgesetzt werden können.
Additionsverfahren: Gleichungen des LGS sind derart zu addieren bzw. zu subtrahieren, dass Variablen in den Gleichungen eliminiert werden. In einem vorhergehenden Schritt können die Gleichungen jeweils mit einer beliebigen von Null verschiedenen reellen Zahl multipliziert werden.
Lösung: c)
Ausführliche Lösung:
Alternative 1: Einsetzungsverfahren
Umstellen von (1) nach $y$ führt zu:
(3) $y = 8-\frac{3}{2}x$
Einsetzen der rechten Seite von (3) für $y$ in (2) ergibt $x = 4$. Anschließendes Einsetzen von $x = 4$ in (3) liefert $y = 2$. Damit lauten die Lösungen $x = 4$ und $y = 2$.
Alternative 2: Gleichsetzungsverfahren
Umstellen von (1) nach $y$ führt zu:
(4) $y = 8-\frac{3}{2}x$
Umstellen von (2) nach $y$ führt zu:
(5) $y = -\frac{2}{3}+ \frac{2}{3} x$
Gleichsetzen der jeweils rechten Seiten von (4) und (5) liefert $x = 4$. Anschließendes Einsetzen von $x = 4$ in eine der Gleichungen (1), (2), (4) oder (5) führt zu $y = 2$.
Alternative 3: Additionsverfahren
Zuerst ist Gleichung (1) mit dem Faktor 2 und Gleichung (2) mit dem Faktor 3 zu multiplizieren. Dies führt zu folgendem LGS:
(6) $12x + 8y = 64$
(7) $-12x + 18y = -12$
Das Bilden der Summe (6)+(7) führt aufgrund der vorgenommenen Äquivalenzumformungen des vorhergehenden Schrittes dazu, dass die Variable $x$ in der resultierenden Gleichung nicht enthalten ist:
(8) $26y = 52$
Lösen von (8) führt auf $y = 2$. Einsetzen von $y = 2$ in eine der Gleichungen (1), (2), (6) oder (7) führt zu $x = 2$.
Hinweise zur Lösung:
LGS können bspw. auch unter Verwendung des sog. Gauss-Algorithmus gelöst werden, der Bestandteil der Vorlesung „Mathematik für Betriebswirte I“ im ersten Semester ist.