Aufgabe:
Vereinfachen Sie den folgenden Term so weit wie möglich:
$\ln\left(\frac{x}{y}\right)+\ln\left(\frac{x}{x}\right)+\ln\left(\frac{y}{x}\right)\qquad\big(x,y\in\mathbb{R}_+\backslash\{0\}\big)$
Antwortmöglichkeiten:
a) 0
b) 1
c) $2\ln\left(xy\right)$
d) $y\ln(x)+x\ln(y)$
Hinweise zur Aufgabe:
Bei dem Ausdruck „$\ln$“ handelt es sich um den natürlichen Logarithmus (zur Basis der Eulerschen Zahl $e\approx2{,}71828$).
Nutzen Sie eines der folgenden Logarithmengesetze ($b,c>0$):
(1) $\ln(b\cdot c)=\ln b+\ln c$
(2) $\ln\left(\frac{b}{c}\right)=\ln b-\ln c$
Lösung: a)
Ausführliche Lösung:
Alternative 1:
(Schritt 1) $\ln\left(\frac{x}{y}\right)+\ln\left(\frac{x}{x}\right)+\ln\left(\frac{y}{x}\right)=\ln\left(\frac{x}{y}\cdot\frac{x}{x}\cdot\frac{y}{x}\right)$
(Schritt 2) $=\ln(1)$
(Schritt 3) $=0$
Alternative 2:
$\ln\left(\frac{x}{y}\right)+\ln\left(\frac{x}{x}\right)+\ln\left(\frac{y}{x}\right)=\ln(x)-\ln(y)+\ln(x)-\ln(x)+\ln(y)-\ln(x)=0$
Hinweise zur Lösung:
Alternative 1:
Schritt 1: Mit Hilfe des Logarithmusgesetz (1) können die drei Logarithmen und ihre Argumente (Ausdruck in der Klammer des jeweiligen Logarithmus) zu einem Logarithmus zusammengefasst werden.
Schritt 2: Das Argument kann per Kürzen zu 1 vereinfacht werden.
Schritt 3: Da die Logarithmusfunktion (unabhängig von ihrer Basis) ihre Nullstelle bei $x = 1$ besitzt, gilt $\ln(1) = 0$.
Alternative 2: Unter Verwendung von Logarithmusgesetz (2) folgt ein Ausdruck, der in Summe direkt Null ergibt.
