Super, ihr habt den Hinweis zur Öffnung des Ausgangs gefunden:



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Dies ist der Hinweis damit ihr das Lösungswort-Anagram, also die drei Blöcke, übersetzen und korrekt anordnen könnt! Googelt einfach den folgenden Begriff: "l337 sp34k", um zu verstehen was die  Textzeichen bedeuten. Wenn ihr die Blöcke aus den drei Kompetenz-Checks richtig angeordnet habt, habt ihr das Lösungswort für den Ausgang aus dem Escape-Room! Ihr braucht das Lösungswort nicht zu übersetzen sondern sollte es in der l337sp34k Variante eingeben.

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Ute Lübke

Logarithmenrechnung

Aufgabe: 

Vereinfachen Sie den folgenden Term so weit wie möglich:

$\ln\left(\frac{x}{y}\right)+\ln\left(\frac{x}{x}\right)+\ln\left(\frac{y}{x}\right)\qquad\big(x,y\in\mathbb{R}_+\backslash\{0\}\big)$

Antwortmöglichkeiten:

a) 0
b) 1
c) $2\ln\left(xy\right)$
d) $y\ln(x)+x\ln(y)$

Hinweise zur Aufgabe:

Bei dem Ausdruck „$\ln$“ handelt es sich um den natürlichen Logarithmus (zur Basis der Eulerschen Zahl $e\approx2{,}71828$).

Nutzen Sie eines der folgenden Logarithmengesetze ($b,c>0$):

(1)   $\ln(b\cdot c)=\ln b+\ln c$

(2)   $\ln\left(\frac{b}{c}\right)=\ln b-\ln c$

Lösung: a)

Ausführliche Lösung:

Alternative 1:

(Schritt 1)    $\ln\left(\frac{x}{y}\right)+\ln\left(\frac{x}{x}\right)+\ln\left(\frac{y}{x}\right)=\ln\left(\frac{x}{y}\cdot\frac{x}{x}\cdot\frac{y}{x}\right)$
(Schritt 2)    $=\ln(1)$
(Schritt 3)    $=0$

 

Alternative 2:

$\ln\left(\frac{x}{y}\right)+\ln\left(\frac{x}{x}\right)+\ln\left(\frac{y}{x}\right)=\ln(x)-\ln(y)+\ln(x)-\ln(x)+\ln(y)-\ln(x)=0$

Hinweise zur Lösung:

Alternative 1:

Schritt 1: Mit Hilfe des Logarithmusgesetz (1) können die drei Logarithmen und ihre Argumente (Ausdruck in der Klammer des jeweiligen Logarithmus) zu einem Logarithmus zusammengefasst werden.

Schritt 2: Das Argument kann per Kürzen zu 1 vereinfacht werden.

Schritt 3: Da die Logarithmusfunktion (unabhängig von ihrer Basis) ihre Nullstelle bei $x = 1$ besitzt, gilt $\ln(1) = 0$.

Alternative 2: Unter Verwendung von Logarithmusgesetz (2) folgt ein Ausdruck, der in Summe direkt Null ergibt.