Aufgabe:
Vereinfachen Sie den folgenden Term so weit wie möglich:
$\sqrt{\frac{y}{x}}\cdot\left(\frac{x^2}{y}\right)^{\frac{1}{2}}\qquad\big(x,y\in\mathbb{R}_+\backslash\{0\}\big)$
Antwortmöglichkeiten:
a) $x\sqrt{y}$
b) $\sqrt{x}$
c) $(xy)^{\frac{1}{2}}$
d) $y^{\frac{1}{2}}$
Hinweise zur Aufgabe:
Nutzen Sie die folgenden Wurzel- und Potenzgesetze:
Für $a,b\in\mathbb{R}_+$ und $m,n\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}$ gilt:
(1) $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$
(2) $\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$
(3) $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$
Lösung: b)
Ausführliche Lösung:
Alternative 1:
(Schritt 1) $\sqrt{\frac{y}{x}}\cdot\left(\frac{x^2}{y}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{y}{x}}\cdot\sqrt{\frac{x^2}{y} }$
(Schritt 2) $=\sqrt{\frac{y\cdot x^2}{x\cdot y}}$
(Schritt 3) $=\sqrt{x}$
Alternative 2:
(Schritt 1) $\sqrt{\frac{y}{x}}\cdot\left(\frac{x^2}{y}\right)^{\frac{1}{2}} =\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{2}}\cdot\left(\frac{x^2}{y}\right)^{\frac{1}{2}}$
(Schritt 2) $=\left(\frac{y\cdot x^2}{x\cdot y}\right)^{\frac{1}{2}}$
(Schritt 3) $=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$
Hinweise zur Lösung:
Alternative 1:
Schritt 1: Wurzelgesetz (1) wird dazu verwendet, den rechten Potenzausdruck in eine Wurzel zu überführen.
Schritt 2: Die beiden Wurzeln werden gemäß Wurzelgesetz (2) zu einer Wurzel zusammengefasst.
Schritt 3: Mittels Kürzen kann der Radikand (Ausdruck unter der Wurzel) vereinfacht werden.
Alternative 2:
Schritt 1: Wurzelgesetz (1) wird dazu verwendet, den linken Wurzelausdruck in eine Potenz zu überführen.
Schritt 2: Die beiden Potenzen werden gemäß Potenzgesetz (3) zu einer Potenz zusammengefasst.
Schritt 3: Mittels Kürzen kann der Ausdruck in der Klammer vereinfacht werden.
