Aufgabe:
Berechnen Sie die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung:
$x^2+5x-84=0$
Antwortmöglichkeiten:
a) $x_1=4$ und $x_2=-21$
b) $x_1=-4$ und $x_2=21$
c) $x_1=-7$ und $x_2=12$
d) $x_1=7$ und $x_2=-12$
Hinweise zur Aufgabe:
Quadratische Gleichungen können über eine Vielzahl an Verfahren gelöst werden:
Alternative 1: $p\text{-}q$ – Formel
Die $p\text{-}q$ – Formel kann bei Vorliegen der Normalform $x^2+px+q=0$ angewendet werden und lautet:
$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
Alternative 2: $a\text{-}b\text{-}c$ – Formel (auch Mitternachtsformel genannt)
Die $a\text{-}b\text{-}c$ – Formel basiert auf der Form $ax^2+bx+c=0$ und lautet:
$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Alternative 3: Quadratische Ergänzung
Das Verfahren der quadratischen Ergänzung sieht vor, auf beiden Seiten der quadratischen Gleichung in Normalform den Term $\left(\frac{p}{2}\right)^2$ zu addieren:
$x^2+px+q+\left(\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2$
So wird auf der linken Seite ein (quadriertes) Binom erzeugt:
$\left(x+\frac{p}{2}\right)^2=-q+\left(\frac{p}{2}\right)^2$
Alternative 4: Faktorisieren
Jedes Polynom 2. Grades $x^2+px+q$ lässt sich als Produkt aus zwei Linearfaktoren $(x+b_1)$ und $(x+b_2)$ mit $b_1,b_2\in\mathbb{Z}$ darstellen, wenn es zwei ganzzahlige Lösungen besitzt. Die „Kunst“ des Faktorisierens besteht darin, die Konstante $q$ in zwei Faktoren $b_1$ und $b_2$ derart zu zerlegen, dass gilt:
$b_1\cdot b_2=q\quad\text{und}\quad b_1+b_2=p$
Die Lösungen sind diejenigen Werte $x\in\mathbb{Z}$, für die die Linearfaktoren jeweils Null sind. Sie können also einfach an den Linearfaktoren abgelesen werden.
Lösung: d)
Ausführliche Lösung:
Alternative 1: $p\text{-}q$ – Formel
Mit $p=5$ und $q=-84$ folgt:
$x_{1,2}&=-\frac{5}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2-(-84)}=-\frac{5}{2}\pm\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{336}{4}}=-\frac{5}{2}\pm\sqrt{\frac{361}{4}}=-\frac{5}{2}\pm\frac{19}{2}$
Damit lauten die Lösungen der quadratischen Gleichung: $x_1=7$ und $x_2=-12$.
Alternative 2: $a\text{-}b\text{-}c$ – Formel
Mit $a=1$, $b=5$ und $c=-84$ folgt:
$x_{1,2}&=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot1\cdot(-84)}}{2\cdot1}=\frac{-5\pm\sqrt{25+336}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{361}}{2}=\frac{-5\pm19}{2}$
Damit lauten die Lösungen der quadratischen Gleichung: $x_1=7$ und $x_2=-12$.
Alternative 3: Quadratische Ergänzung
Mit $p=5$ und $q=-84$ folgt:
$\phantom{\Leftrightarrow}\qquad&&x^2+5x-84+\left(\frac{5}{2}\right)^2=\left(\frac{5}{2}\right)^2$
$\Leftrightarrow\qquad&&\left(x+\frac{5}{2}\right)^2=84+\left(\frac{5}{2}\right)^2$
$\Leftrightarrow\qquad&&x+\frac{5}{2}=\pm\sqrt{\frac{336}{4}+\frac{25}{4}}$
$\Leftrightarrow\qquad&&x=\pm\sqrt{\frac{361}{4}}-\frac{5}{2}$
$\Rightarrow\qquad&&x_{1,2}=\pm\frac{19}{2}-\frac{5}{2}$
Damit lauten die Lösungen der quadratischen Gleichung: $x_1=7$ und $x_2=-12$.
Alternative 4: Faktorisieren
Gesucht sind zwei ganze Zahlen, die in Summe $p=5$ und im Produkt $q=-84$ ergeben. Nur die Kombination aus den Zahlen $-7$ und $12$ führt im Produkt auf $q=-84$ und in Summe auf $p=5$, weshalb die quadratische Gleichung wie folgt faktorisiert werden kann:
$x^2+5x-84=(x-7)(x+12)=0$
Die Lösungen sind diejenigen Werte für $x$, für die die einzelnen Linearfaktoren Null sind (Merke: Ist ein Faktor gleich Null, ist das gesamte Produkt Null). Da dies für $x_1=7$ und $x_2=-12$ erfüllt ist, sind mit diesen Werten die Lösungen gefunden.
